【数学认知】谈谈怎样学好数学4：学好数学的方法

【数学认知】谈谈怎样学好数学4：学好数学的方法

2025-05-12 14:52

来源:

SSAT红宝书

发布于：山西省

苏步青|撰文

数学具有高度的抽象性，而应用却十分广泛。怎样学好数学，并且使它能够为我们所掌握运用，自然不是那么轻而易举的事情。

如大家所知，在小学里学习算术，主要是结合具体事例，从实际课题出发，达到能够正确而迅速地运算和能够直观地认识一些简单的平面图形、立体图形的要求。

进入中学以后，要在小学算术的基础上对数量关系的知识作进一步的学习，要对空间形式的知识作系统的学习，并且要对形与数相结合的知识进行学习。所以在中学阶段里，特别是高中阶段里学习数学的任务是比较繁重的，也是非常重要的。

数学学得好坏，不仅关系着今天能不能学好其他学科如物理、化学等，而且，更重要的是关系着毕业后能不能解决生产实践中将遇到的实际问题，也关系着今后在攀登科学高峰的道路上能不能接近和赶上世界先进水平。

在中学的数学课本里，一些基本的概念是逐步地被引导进来的，要把基本的概念了解清楚，可以说是学好数学的第一个步骤。如果概念还没有理解清楚，就急急忙忙地去证明定理、做习题，那是没有不碰壁的。

有些同学在课堂里听了老师的讲课以后，回到家里就拿起笔来做习题，这样做大概对以下两类习题的演算不大会感到困难：一类是用到的基本概念已经正确理解了的习题。由于正确理解了概念，解答所配的习题就比较容易，而通过习题的演算反过来还可以进一步明确概念以及从概念导出来的结论——定理。另一类是同课堂里老师做给大家看过的例题类似的习题。对这类只要“依样画葫声”的习题，即使基本的概念还没有理解清楚，也可以做出来，但是如果遇到习题稍有更改，就会感到无从下手。像这种看来似乎能演算而实际是"描红"的情况，在今天的中学生里并不是罕见的。

不少同学对数学竞赛的试题感到困难，原因不是别的，就是从来没有见过这类题目。正确地理解数学的基本概念之所以重要，是因为它是掌握数学基础知识的前提。犹如造房屋那样，基础打得牢靠些，将来在它的上面造起来的房屋就不会毁。因此，正确理解基本概念的好处不仅仅在于能解出几个习题。

打基础的唯一方法是不厌其烦地反复学习：既不要以为基本的念很抽象，不易理解，就干把它放过去；又不要以为它很容易懂，而不去深入理解。

在高中学习的有些数学内容，由于以前在初中里学过一点，往往就容易忽视它的重要性。没看到，这些内容外表上好像同初中阶段学过的有些内容是重复的，而实际上却是螺旋式上升的。从有理数的加法发展为整式、分式的加法，又发展为函数的加法，后来在物理学里发展为力、速度(矢量)的加法，这是一个具体的例子。不要怕做这些课程的计算题，不要不耐烦。

凡是基础的东西总不免有些单调，缺乏变化，容易使人感到厌倦，以至于产生“现在不去重视它，也没有什么关系”的不正确想法。事实恰恰相反，今天基础打得不好，明天就会发现缺陷。

我在1924年当学生的时候，曾经做过10000道微积分的题目，我为什么要做这样多的题目呢?当时我是这样想的：要真正学到手，只学一遍恐怕太少，一定的重复是很有必要的。有的人念书，念一遍就够了，我自己往往不是那么快。怎么办呢？那就多看、多念、多想，一直到把它弄懂为止。我过去念一本书或阅读一本论著，从来没有念一遍就让它过去的。要么不念，要念就念个透，一次、两次，多到五次、六次，每次念的时候总觉得比前一次有新的体会。

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这里可以看出，平常所谓“懂了"，中间还有深浅之分，甚至有“真懂”与“假懂”之分。我们对怎样才算学好了，真懂了，要有一个高的标准。

多一分耕耘，就多一分收获，我们要把基础知识扎扎实实地学到手，就要舍得下工夫，我念外文总是念懂了才译出来。我念过的书都有笔记，并且注明某月某日看的。这些笔记我都保存着，有的笔记现在还常常用到，由于念的次数多，又通过手、脑的劳动，所以印象是深刻的。有时学生来问我什么问题，我往往可以讲出来有关这个问题的答案在哪一本书、哪一卷、哪一页里，并且还可以从书架的某一处立刻拿出来。

我不相信，人的脑力有那么历害，学了一遍，做了很少习题，很少甚至没有一点实际形象化的东西，就会都理解透了，巩固了，一辈子也不会走样了。求学问，从不知到知，从没有印象到有印象，而且还要“印”得正确，“印”得清楚，绝不是轻而易举的，一定要经过艰巨的劳动，通过多次反复的钻研和练习，才能达到这样的境界。学习数学，宁可多花一些时间，学得精一些、深一些、透一些，学到的知识也就扎实些，牢靠些，“有备无患或少患”，“以防万一”。对学习中的困难要有足够的估计，多做一些准备，不要贪眼前的快，学得太多，太粗，而长期下去将造成一生的慢。

科学研究，首先是“实事求是，循序前进”，然后在这个基础上才能“齐头并进，迎头赶上”。没有基础，就没有得以进一步飞跃的土壤，那怎么能够开花结果呢？

这样说，并不反对同学们在完成自己的作业的前提下阅读课外读物；不但不反对，而且还要鼓励。只是要注意，即使在这种情况下也不要贪多冒进，囫囵吞枣，食而不化。

想看这本课外读物，又想找另一本，这容易引起阅读不精，概念模糊，思路混乱等毛病。原来想看一点课外读物来帮助提高业务水平，而结果可能恰恰相反。所以我们大学里担任一年级教学的老师经常说：“补基础，炒夹生饭，不好办。”从这一点看来，我从前在中学里念书时看不到一本数学课外读物，或许倒是一件好事！

我希望成绩比较优秀的同学，在可能的条件下选定一本程度恰当的数学书籍，精读细算，踏踏实实做好，做完习题，然后考虑第二本。在阅读课外读物的时候，要练手——多做习题，又要练脑——多加思索。

因为，要认识数学里的基本概念和推导得来的定理，必须经过实际演算，否则，就不可能获得念好这本书的经验；但是，如果念了书，做了习题不想一想，只满足于做过算数，同样也不可能积累经验，提高认识和掌握数学的本质。

要学好数学，要善于使用思想器官，必须提倡思索，学会分析事物的方法，养成分析的习惯。数学，特别是高等数学，包括越来越多的抽象概念，尽管对一个一个的概念一读就觉得“懂了”，如果对概念的发展以及概念之间的联系不假思索和分析，往往念完一本书或学完一门分支，回顾一下，会觉得局部是“明了”的，可是整体上不大懂，甚至莫名其妙。这样，将来把这分支的知识应用到另一理论上或建设事业的实际问题中，就会产生毛病了。

总之，要学好数学，方法不外是打好基础，多做习题，多加思索和分析等。学习数学除了书本知识以外，还需要同实际联系，也只有这样，才能生根壮大，发挥作用。

本文原载于《数学大师论数学教育》(张孝达选编-杭州:浙江教育出版社，2007.8)

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