函数的凹凸性与拐点
凹凸性与拐点
凹凸区间
在
(
a
,
b
)
(a,b)
(a,b)内
若恒有
f
′
′
(
x
)
>
0
f''(x)>0
f′′(x)>0，则曲线
y
=
f
(
x
)
y=f(x)
y=f(x)在
(
a
,
b
)
(a,b)
(a,b)上是凹的 若恒有
f
′
′
(
x
)
<
0
f''(x)<0
f′′(x)<0，则曲线
y
=
f
(
x
)
y=f(x)
y=f(x)在
(
a
,
b
)
(a,b)
(a,b)上是凸的
拐点
拐点即曲线由凹变凸或由凸变凹的分界点。
拐点存在于：
f
′
′
(
x
)
=
0
f''(x)=0
f′′(x)=0二阶导数不存在的点
拐点判定： 第一充分条件：
f
′
′
(
x
0
)
=
0
f''(x_0)=0
f′′(x0)=0且两侧异号，则
(
x
0
,
f
(
x
0
)
)
(x_0,f(x_0))
(x0,f(x0))为拐点 第二充分条件：
f
′
′
(
x
0
)
=
0
f''(x_0)=0
f′′(x0)=0且
f
′
′
′
(
x
0
)
≠
0
f'''(x_0)\neq0
f′′′(x0)=0,则
(
x
0
,
f
(
x
0
)
)
(x_0,f(x_0))
(x0,f(x0))为拐点
例1
求
f
(
x
)
=
(
x
−
1
)
x
5
3
f(x)=(x-1)\sqrt[3]{x^5}
f(x)=(x−1)3x5
的凹凸区间和拐点。
解：
\qquad
定义域为
(
−
∞
,
+
∞
)
(-\infty,+\infty)
(−∞,+∞)，
f
(
x
)
=
(
x
−
1
)
x
5
3
=
x
8
3
−
x
5
3
f(x)=(x-1)\sqrt[3]{x^5}=x^{\frac 83}-x^{\frac 53}
f(x)=(x−1)3x5
=x38−x35，
f
′
(
x
)
=
8
3
x
5
3
−
5
3
x
2
3
f'(x)=\dfrac 83x^{\frac 53}-\dfrac 53x^{\frac 23}
f′(x)=38x35−35x32
f
′
′
(
x
)
=
40
9
x
2
3
−
10
9
x
−
1
3
=
10
9
x
−
1
3
(
4
x
−
1
)
=
10
(
4
x
−
1
)
9
x
3
\qquad f''(x)=\dfrac{40}{9}x^{\frac 23}-\dfrac{10}{9}x^{-\frac 13}=\dfrac{10}{9}x^{-\frac 13}(4x-1)=\dfrac{10(4x-1)}{9\sqrt[3]{x}}
f′′(x)=940x32−910x−31=910x−31(4x−1)=93x
10(4x−1)
\qquad
可能的拐点：
x
1
=
0
,
x
2
=
1
4
x_1=0,x_2=\dfrac 14
x1=0,x2=41
(
−
∞
,
0
)
(-\infty,0)
(−∞,0)
0
0
0
(
0
,
1
4
)
(0,\dfrac 14)
(0,41)
1
4
\dfrac 14
41
(
1
4
,
+
∞
)
(\dfrac 14,+\infty)
(41,+∞)
f
′
′
(
x
)
f''(x)
f′′(x)
+
+
+
−
-
−
0
0
0
+
+
+
f
(
x
)
f(x)
f(x)凹拐点凸拐点凹
凸区间：
[
0
,
1
4
]
[0,\dfrac 14]
[0,41]，凹区间：
(
−
∞
,
0
]
(-\infty,0]
(−∞,0]和
[
1
4
,
+
∞
)
[\dfrac 14,+\infty)
[41,+∞)，拐点：
(
0
,
0
)
,
(
1
4
,
−
3
4
(
1
4
)
5
3
)
(0,0),(\dfrac 14,-\dfrac 34\sqrt[3]{(\dfrac 14)^5})
(0,0),(41,−433(41)5
)
例2
已知
f
(
x
)
=
x
e
−
x
f(x)=xe^{-x}
f(x)=xe−x，研究曲线
y
=
f
(
x
)
y=f(x)
y=f(x)的单调区间、极值、凹凸区间及拐点。
解：
\qquad
定义域为
(
−
∞
,
+
∞
)
(-\infty,+\infty)
(−∞,+∞)，
f
′
(
x
)
=
e
−
x
−
x
e
−
x
=
e
−
x
(
1
−
x
)
f'(x)=e^{-x}-xe^{-x}=e^{-x}(1-x)
f′(x)=e−x−xe−x=e−x(1−x)
\qquad
可能的极值点：
x
=
1
x=1
x=1
(
−
∞
,
1
)
(-\infty,1)
(−∞,1)
1
1
1
(
1
,
∞
)
(1,\infty)
(1,∞)
f
′
(
x
)
f'(x)
f′(x)
+
+
+
0
0
0
−
-
−
f
(
x
)
f(x)
f(x)
↗
\nearrow
↗极大
↘
\searrow
↘
单调递增区间：
(
−
∞
,
1
]
(-\infty,1]
(−∞,1]，单调递减区间为
[
1
,
+
∞
)
[1,+\infty)
[1,+∞)，极大值为
f
(
1
)
=
e
−
1
f(1)=e^{-1}
f(1)=e−1
f
′
′
(
x
)
=
−
e
−
x
(
1
−
x
)
−
e
−
x
=
e
−
x
(
x
−
2
)
f''(x)=-e^{-x}(1-x)-e^{-x}=e^{-x}(x-2)
f′′(x)=−e−x(1−x)−e−x=e−x(x−2)
可能的拐点：
x
=
2
x=2
x=2
(
−
∞
,
2
)
(-\infty,2)
(−∞,2)
2
2
2
(
2
,
+
∞
)
(2,+\infty)
(2,+∞)
f
′
′
(
x
)
f''(x)
f′′(x)
−
-
−
0
0
0
+
+
+
f
(
x
)
f(x)
f(x)凸拐点凹
凸区间：
(
−
∞
,
2
]
(-\infty,2]
(−∞,2]，凹区间：
[
2
,
+
∞
)
[2,+\infty)
[2,+∞)，拐点：
(
2
,
2
e
−
2
)
(2,2e^{-2})
(2,2e−2)
总结
与导数求函数的单调性与极值类似，先求出可能的拐点，再列表判断，即可得出答案。